微积分总结

要期末考试了一起复习一遍。。

常见积分公式

\(\int \mathrm{d}x=x+C\)

\(\int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\neq -1)\)

\(\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\log|x|+C\)

\(\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\log a}+C\)

\(\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\)

\(\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\)

\(\int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x+C\)

\(\int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x+C\)

\(\int \sec^2 x\mathrm{d}x=\tan x+C\)

\(\int \csc^2 x\mathrm{d}x=-\cot x+C\)

\(\int \sec x\mathrm{d}x=\log|sec x+tan x|+C\)(里面乘上cos会变成1+sin)

\(\int \csc x\mathrm{d}x=\log|csc x-cot x|+C\)(里面乘上sin会变成1-cos)

\(\int \tan x\mathrm{d}x=-\log|\cos x|+C\)

\(\int \cot x\mathrm{d}x=\log|\sin x|+C\)

\(\int \cos^2 x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C\)

\(\int \sin^2 x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C\)

\(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\)

\(\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C\)

\(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C\)

\(I_1=\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{x\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{2}\log(x^2+a^2)+C\)

\(I_{m+1}=\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^{m+1}}=\frac{1}{2a^2m}(\frac{x}{(x^2+a^2)^m}+(2m-1)I_m)\)

\(\int \frac{x\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^m}=-\frac{1}{2(m-1)}\frac{1}{(x^2+a^2)^{m-1}}+C\)

\(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\log|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\)

\(\int \frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\sqrt{x^2\pm a^2}+C\)

\(\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C\)

\(\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C\)

常见积分方法

利用\(f'(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}f(x)\)换元

对于\(\sqrt{a^2-x^2}\),将\(x\)换为\(a\sin t\)

对于\(\sqrt{x^2+a^2}\),将\(x\)换为\(a\tan t\)

对于\(\sqrt{x^2-a^2}\),将\(x\)换为\(a\sec t(x>a)\)或\(-a\sec t(x<a)\)

\(\int f(x)\mathrm{d}g(x)=f(x)g(x)-\int g(x)\mathrm{d}f(x)\)

对于有理函数,将分母因式分解,用待定系数法拆分后分别积分

对于三角有理函数,通过换元转换为有理函数积分,其中利用万能公式的换元:

\(t=\tan\frac{x}{2}\)

\(\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\)

\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\)

\(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

如果\(\sin\)或\(\cos\)的次数为奇数,可以取一个出来换元,次数变成偶数就可以直接换成表示成\(\cos\)或\(\sin\)

如果次数均为偶数,可以令\(t=\tan x\),解方程即可得到\(\sin^2 x\)和\(\cos^2 x\)的表达式

对于\(\int P(x)(\log x)^m\mathrm{d}x\)(其中\(P(x)\)为多项式),将\(P(x)\)放进去分部积分,即可使\(\log\)的次数减一

对于\(\int P(x)e^{ax}\mathrm{d}x\),将\(e^{ax}\)放进去分部积分,即可使多项式的次数减一(本质与上一条相同)

对于\(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)型函数,可进行换元

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